Consejos útiles

Cómo encontrar un producto vectorial de vectores

El producto vectorial de vectores, cuya fórmula depende de los datos iniciales del problema, se puede encontrar de dos maneras.

donde los vectores $ overline, overline, overline $ se denominan vectores unitarios de los ejes correspondientes $ Ox, Oy, Oz $.

El determinante en la segunda fórmula puede expandirse mediante la primera línea:

En total, la segunda fórmula toma la forma corta final:

  1. Al cambiar el orden de los factores, el signo se invierte: $$ [ overline, overline] = - [ overline, overline] $$
  2. Constante de replanteo para el signo del producto: $$ lambda [ overline, overline] = [ lambda overline, overline] = [ overline, lambda overline] $$
  3. $$ [ overline + overline, overline] = [ overline, overline] + [ overline, overline] $$

Ejemplos de soluciones

Encuentra el producto vectorial de los vectores dados por las coordenadas

Componemos un determinante, cuya primera línea consiste en vectores unitarios, y la segunda y tercera de las coordenadas de los vectores $ overline $ y $ overline $:

La respuesta recibida se puede escribir en una forma conveniente:

Si no puede resolver su problema, envíenoslo. Proporcionaremos una solución detallada. Podrá familiarizarse con el proceso de cálculo y obtener información. ¡Esto ayudará a obtener crédito del maestro de manera oportuna!

Definición
La respuesta
$$ overline times overline = (5, -1, 3) $$

Significado geométrico

  • El módulo del producto vectorial de los vectores $ overline $ y $ overline $ en el sentido geométrico es igual al área de un paralelogramo construido en estos vectores: $$ S_ = | overline times overline| $$
  • La mitad de este módulo es el área del triángulo: $$ S_ Delta = frac <1> <2> | overline times overline | $$
  • Si el producto vectorial es cero $ overline times overline = 0 $, entonces los vectores son colineales.

Usando el significado geométrico, en particular la segunda fórmula, encontramos la mitad del módulo del producto vectorial de los vectores.

$$ begin overline& overline& overline 2 y 1 y 3 - 1 y 2 y 1 fin = overline(1-6) - overline(2 + 3) + overline(4 + 1) = -5 overline - 5 overline + 5 overline $$

Calculamos el módulo del vector resultante como la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de las coordenadas de este vector:

Por la fórmula para encontrar el área de un triángulo, tenemos:

El ángulo entre los vectores.

Para que podamos introducir el concepto de un producto vectorial de dos vectores, primero debemos tratar con un concepto como el ángulo entre estos vectores.

Seamos dados dos vectores $ overline<α>$ y $ overline<β>$. Tome en el espacio algún punto $ O $ y coloque los vectores $ overline lejos de él<α>= overline$ y $ overline<β>= overline$, entonces el ángulo $ AOB $ se llamará ángulo entre estos vectores.

Figura 1. El ángulo entre los vectores. Author24 - intercambio en línea de trabajos de estudiantes

Además, asumiremos que si los vectores $ overline<α>$ y $ overline<β>$ son codireccionales, o si uno o ambos son cero, entonces el ángulo entre estos vectores será $ 0 ^ circ $.

El concepto de un producto vectorial de vectores y la fórmula para encontrar

Un producto vectorial de dos vectores es un vector perpendicular a ambos vectores, y su longitud será igual al producto de las longitudes de estos vectores con el seno del ángulo entre estos vectores, y este vector con dos iniciales tiene la misma orientación que el sistema de coordenadas cartesianas.

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Matemáticamente, se ve así:

  1. $ | overline<α>x overline<β>| = | overline<α>|| overline<β>| sin⁡∠ ( overline<α>, overline<β>)$
  2. $ overline<α>x overline<β>⊥ overline<α>$, $ overline<α>x overline<β>⊥ overline<β>$
  3. $ ( overline<α>x overline<β>, overline<α>, overline<β>) $ y $ ( overline, overline, overline) $ están igualmente orientados

Figura 2. El producto de los vectores. Author24 - intercambio en línea de trabajos de estudiantes

Obviamente, el producto externo de los vectores será igual al vector cero en dos casos:

  1. Si la longitud de uno o ambos vectores es cero.
  2. Si el ángulo entre estos vectores será $ 180 ^ circ $ o $ 0 ^ circ $ (ya que en este caso el seno es igual a cero).

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Para ver visualmente cómo se encuentra el producto vectorial de los vectores, considere los siguientes ejemplos de soluciones.

Encuentre la longitud del vector $ overline<δ>$, que será el resultado de un producto vectorial de vectores, con coordenadas $ overline<α>= (0.4.0) $ y $ overline<β>=(3,0,0)$.

Solución.

Representamos estos vectores en un espacio de coordenadas cartesianas:

Figura 3. Vectores en el espacio de coordenadas cartesianas. Author24 - intercambio en línea de trabajos de estudiantes

Vemos que estos vectores se encuentran en los ejes $ Ox $ y $ Oy $, respectivamente. Por lo tanto, el ángulo entre ellos será de $ 90 ^ circ $. Encuentre las longitudes de estos vectores:

Luego, por Definición 1, obtenemos el módulo $ | overline<δ>|$

$ | overline<δ>| = | overline<α>|| overline<β>| sin90 ^ circ = 4 cdot 3 cdot 1 = 12 $

Cálculo de un producto vectorial por las coordenadas de los vectores.

La definición 1 implica inmediatamente el método de encontrar un producto vectorial para dos vectores. Dado que el vector, además del valor, también tiene una dirección, es imposible encontrarlo solo con la ayuda de una cantidad escalar. Pero además de eso, también hay una manera de encontrar vectores usando las coordenadas de los datos que nos han dado.

Déjenos dar los vectores $ overline<α>$ y $ overline<β>$, que tendrá las coordenadas $ (α_1, α_2, α_3) $ y $ (β_1, β_2, β_3) $, respectivamente. Entonces el vector del producto vectorial (es decir, sus coordenadas) se puede encontrar mediante la siguiente fórmula:

De lo contrario, revelando el determinante, obtenemos las siguientes coordenadas

$ overline<α>x overline<β>=(α_2 β_3-α_3 β_2,α_3 β_1-α_1 β_3,α_1 β_2-α_2 β_1)$

Encuentre el producto vectorial de vectores colineales $ overline<α>$ y $ overline<β>$ con coordenadas $ (0,3,3) $ y $ (- 1,2,6) $.

Solución.

Usamos la fórmula anterior. Obtener

Propiedades de un producto vectorial de vectores

Para tres vectores mixtos arbitrarios $ overline<α>$, $ overline<β>$ y $ overline<γ>$, así como $ r∈R $, las siguientes propiedades son verdaderas:

La fidelidad de esta propiedad se derivará del tercer párrafo de la Definición 1.

$ (r overline<α>) x overline<β>= r ( overline<α>x overline<β>) $ y $ overline<α>x (r overline<β>) = r ( overline<α>x overline<β>)$

De la fórmula para encontrar el producto vectorial obtenemos:

$ overline<α>x ( overline<β>+ overline<γ>) = overline<α> overline<β>+ overline<α> overline<γ>$ y $ ( overline<α>+ overline<β>) overline<γ>= overline<α> overline<γ>+ overline<β> overline<γ>$.

Esta propiedad del producto vectorial de vectores también se puede verificar utilizando la fórmula.

La siguiente propiedad se denomina significado geométrico del producto vectorial:

La longitud del producto vectorial del vector es igual al área del paralelogramo que se necesitaba construir entre ellos.

Figura 4. Longitud del vector de un producto vectorial. Author24 - intercambio en línea de trabajos de estudiantes

Encuentre el área del paralelogramo cuyos vértices tienen las coordenadas $ (3,0,0) $, $ (0,0,0) $, $ (0,8,0) $ y $ (3,8,0) $.

Solución.

Primero, representamos este paralelogramo en el espacio de coordenadas (Fig. 5):

Figura 5. Paralelogramo en el espacio de coordenadas. Author24 - intercambio en línea de trabajos de estudiantes

Vemos que los dos lados de este paralelogramo se construyen usando vectores colineales con coordenadas $ overline<α>= (3,0,0) $ y $ overline<β>= (0.8.0) $. Usando la cuarta propiedad, obtenemos:

Encuentra el vector $ overline<α>x overline<β>$:

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Ejemplos de tareas para calcular un producto vectorial de vectores

Ejemplo 2
Encuentra el área de un triángulo por vectores dados $$ overline = (2,1,3) $$ $$ overline = (-1,2,1) $$
Solución
k 123
21-2

= yo (2 · (-2) - 3 · 1) - j (1 · (-2) - 2 · 3) + k (1 · 1 - 2 · 2) =

Solución: Encuentre el producto vectorial de estos vectores:

=
-12-2
21-1

= yo (2 · (-1) - (-2) · 1) - j ((-1) · (-1) - (-2) · 2) + k ((-1) · 1 - 2 · 2) =

De las propiedades de un producto vectorial:

SΔ = 1 2 | a × b | = 1 2 √ 0 2 + 5 2 + 5 2 = 1 2 √ 25 + 25 = 1 2 √ 50 = 5√ 2 2 = 2.5√ 2

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Mi nombre es Dovzhik Mikhail Viktorovich. Soy el propietario y autor de este sitio, he escrito todo el material teórico y también he desarrollado ejercicios y calculadoras en línea que puedes usar para estudiar matemáticas.

Definición Algebraica Editar

También hay un método analítico para determinar el triple derecho e izquierdo de vectores, que requiere establecer en el espacio en consideración derecho o izquierda sistemas de coordenadas, y no necesariamente rectangulares y ortonormales.

  • Si el determinante es positivo, entonces el triple de vectores tiene la misma orientación que el sistema de coordenadas.
  • Si el determinante es negativo, entonces el triple de vectores tiene una orientación opuesta a la del sistema de coordenadas.
  • Si el determinante es cero, entonces los vectores son coplanares (linealmente dependientes).

Observaciones Editar

Como definición, puede usar la siguiente expresión de un producto vectorial en coordenadas en el sistema de coordenadas rectangular derecho (o izquierdo).

Además, un conjunto de propiedades algebraicas de un producto vectorial puede tomarse como la definición inicial.

Definición Geométrica

Definición de mano Editar

Definición Algebraica Editar

También hay un método analítico para determinar el triple derecho e izquierdo de vectores, que requiere establecer en el espacio en consideración derecho o izquierda sistemas de coordenadas, y no necesariamente rectangulares y ortonormales.

  • Si el determinante es positivo, entonces el triple de vectores tiene la misma orientación que el sistema de coordenadas.
  • Si el determinante es negativo, entonces el triple de vectores tiene una orientación opuesta a la del sistema de coordenadas.
  • Si el determinante es cero, entonces los vectores son coplanares (linealmente dependientes).

Observaciones Editar

Las definiciones del triple de vectores "derecho" e "izquierdo" dependen de la orientación del espacio, pero no requieren establecer ningún sistema de coordenadas en el espacio en consideración, ya que la definición del producto vectorial en sí no lo requiere. Al mismo tiempo fórmulas Las coordenadas del producto vectorial en términos de las coordenadas de los vectores de origen diferirán en el signo en el sistema de coordenadas rectangular derecho e izquierdo.

Todos los vectores de tres vías correctos (y de izquierda a otra) se denominan igualmente orientado.

Dada una orientación espacial, el sistema de coordenadas se llama derecho (izquierda) si un triple de vectores con coordenadas (1, 0, 0) < displaystyle (1,0,0)>, (0, 1, 0) < displaystyle (0,1,0)>, (0, 0 , 1) < displaystyle (0,0,1)> es derecha (izquierda).

Definición geométrica y definición a mano usted mismo preguntar Orientación espacial. Una definición algebraica define una forma de dividir triples de vectores no coplanarios en dos clases de vectores con orientación idéntica, pero no especifica la orientación del espacio, sino usos ya establecido: aquel en base al cual el sistema de coordenadas dado se considera derecho o izquierdo. Además, si se desconoce la orientación del sistema de coordenadas, puede comparar el signo del determinante con el signo del determinante de otro triple de vectores no coplanarios, cuya orientación se conoce, si los signos coinciden, entonces los triples están igualmente orientados, si los signos son opuestos, los triples están orientados en la dirección opuesta.